Ряд Ламберта

Функция $S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$, представленная как изображение в Matplotlib с помощью версии метода Раскраски области определения

Ряд Ламберта — в математике ряд, названный в честь Иоганна Генриха Ламберта. Этот ряд имеет вид

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.$

Используя разложение знаменателя, ряд Ламберта можно представить в виде формального ряда

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

в котором коэффициенты определяются с помощью свёртки Дирихле для $a_{n}$ с постоянной функцией $1(n)=1$:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,$

Этот ряд может быть обращён с помощью формулы обращения Мёбиуса. Он представляет собой пример преобразования Мёбиуса.

Примеры

Поскольку последнее выражение представляет собой типичную теоретико-числовую сумму, почти всякая естественная мультипликативная функция будет в точности суммируемой, когда она употребляется в рядах Ламберта. Так, например,

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

где $\sigma _{0}(n)=d(n)$ — число положительных делителей числа  n.

Для суммы делителей высокого порядка имеем

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}$

где $\alpha$ — произвольное комплексное число, и

$\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,$

функция делителей. В частности, для $\alpha =1$, ряд Ламберта, который мы получаем, таков

$q{\frac {F'(q)}{F(q)}}$

Это (с точностью до множителя $q$) логарифмическая производная обычной порождающей функции для числа разбиений

$F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.$

Ссылки

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1964. п. 385.